Sejarah Struktur Aljabar
Sejarah aljabar dimulai di Mesir kuno dan Babilonia, di mana orang
belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan quadratic (ax^2 + bx = c)
persamaan, sertapersamaan tak tentu seperti x^2 + y^2 = z^2, dimana
beberapa diketahui terlibat. Orang-orang Babilonia kuno dapat memecahkan
persamaan kuadrat dengan prosedur yang sama. Mereka juga bisa
memecahkan beberapa persamaan tak tentu.
Para matematikawan Aleksandria Hero dari Alexandria dan Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tapi Diophantus buku Arithmetica ada di tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit. Pengetahuan kuno solusi persamaan pada gilirannya menemukan rumah awal di dunia Islam, di mana ia dikenal sebagai "ilmu restorasi dan balancing." (Kata bahasa Arab untuk restorasi, al-jabru, adalah akar kata aljabar). Pada abad ke-9, matematikawan Arab al-Khawarizmi menulis salah satu aljabar Arab pertama, uraian sistematis dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad ke-9, ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan identitas dari aljabar dan memecahkan masalah-masalah rumit seperti menemukan x, y, dan z sehingga x + y + z = 10, x^2 + y^2 = z^2, dan xz = y^2.
Peradaban kuno menuliskan ekspresi aljabar hanya menggunakan singkatan sesekali, tapi oleh matematikawan abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang sewenang-wenang kekuasaan tinggi tidak diketahui x, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat polinomial serta pengetahuan tentang-teorema binomial. Matematikawan Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis yang diperoleh irisan kerucut, tapi ia tidak bisa menemukan rumus untuk akar. Sebuah terjemahan Latin dari Al-Khawarizmi's Aljabar muncul pada abad 12. Pada awal abad ke-13, matematikawan besar Italia Leonardo fibonacci dicapai pendekatan dekat dengan solusi dari persamaan kubik x^3 + 2 x^2 + cx = d. Karena fibonacci telah melakukan perjalanan di tanah Islam, ia mungkin digunakan metode Arab aproksimasi.
Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro , Niccolo Tartaglia , dan Gerolamo Cardano memecahkan persamaan kubik umum dalam hal konstanta muncul dalam persamaan. Teman-murid Cardano, Ludovico Ferrari, segera menemukan solusi yang tepat untuk persamaan derajat keempat (lihatpersamaan quartic ), dan sebagai hasilnya, matematikawan untuk beberapa abad berikutnya mencoba untuk menemukan rumus untuk akar dari persamaan derajat lima, atau lebih tinggi . Pada awal abad ke-19, bagaimanapun, matematikawan Norwegia Niels Abel dan matematikawan Perancis Evariste Galoismembuktikan bahwa tidak ada formula seperti itu tidak ada.
Sebuah perkembangan penting dalam aljabar pada abad ke-16 adalah pengenalan simbol untuk diketahui dan untuk kekuatan aljabar dan operasi. Sebagai hasil dari perkembangan ini, Buku III dari géometrie La (1637), yang ditulis oleh filsuf Perancis dan matematikawan Rene Descartes , tampak seperti teks aljabar modern. kontribusi paling signifikan Descartes untuk matematika, bagaimanapun, adalah penemuan geometri analitik , yang mengurangi pemecahan masalah geometri untuk solusi yang aljabar. teks geometri Nya juga mengandung esensi kursus pada teori persamaan , termasuk apa yang disebut pemerintahannya tanda untuk menghitung jumlah dari apa yang disebut Descartes (positif) dan "salah" (negatif) "benar" akar dari suatu persamaan. Pekerjaan dilanjutkan melalui abad ke-18 pada teori persamaan, tetapi tidak sampai 1799 adalah bukti diterbitkan, oleh ahli matematika Jerman Carl Friedrich Gauss , yang menunjukkan bahwa himpunaniap persamaan polinomial himpunanidaknya memiliki satu akar dalam bidang kompleks (lihat Nomor: Bilangan Kompleks ) .
Pada saat Gauss, aljabar telah memasuki fase modern. Perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomial untuk mempelajari struktur sistem matematis abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku obyek matematika, seperti bilangan kompleks , yang ditemui ketika belajar matematika persamaan polinomial.Dua contoh dari sistem tersebut kelompok aljabar (lihat Group) dan quaternions , yang berbagi sifat-sifat sistem bilangan tetapi juga berangkat dari mereka dengan cara-cara penting. Grup dimulai sebagai sistem permutasi dan kombinasi dari akar polinomial, tetapi mereka menjadi salah satu konsep pemersatu utama matematika abad ke-19. Kontribusi penting untuk mempelajari mereka dibuat oleh Galois matematikawan Perancis dan Augustin Cauchy , matematikawan Inggris Arthur Cayley, dan matematikawan Norwegia Niels Abel dan Lie Sophus. Quaternions ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton , yang memperpanjang aritmatika kompleks nomor ke quaternions sementara bilangan kompleks adalah bentuk a + bi, quaternions berada diluar dari form a + bi + cj + dk.
Segera himpunanelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan quaternions. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika . Sejak saat itu, aljabar modern juga disebut abstrak aljabar.
Sumber :
http://www.algebra.com/algebra/about/history/
Para matematikawan Aleksandria Hero dari Alexandria dan Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tapi Diophantus buku Arithmetica ada di tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit. Pengetahuan kuno solusi persamaan pada gilirannya menemukan rumah awal di dunia Islam, di mana ia dikenal sebagai "ilmu restorasi dan balancing." (Kata bahasa Arab untuk restorasi, al-jabru, adalah akar kata aljabar). Pada abad ke-9, matematikawan Arab al-Khawarizmi menulis salah satu aljabar Arab pertama, uraian sistematis dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad ke-9, ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan identitas dari aljabar dan memecahkan masalah-masalah rumit seperti menemukan x, y, dan z sehingga x + y + z = 10, x^2 + y^2 = z^2, dan xz = y^2.
Peradaban kuno menuliskan ekspresi aljabar hanya menggunakan singkatan sesekali, tapi oleh matematikawan abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang sewenang-wenang kekuasaan tinggi tidak diketahui x, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat polinomial serta pengetahuan tentang-teorema binomial. Matematikawan Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis yang diperoleh irisan kerucut, tapi ia tidak bisa menemukan rumus untuk akar. Sebuah terjemahan Latin dari Al-Khawarizmi's Aljabar muncul pada abad 12. Pada awal abad ke-13, matematikawan besar Italia Leonardo fibonacci dicapai pendekatan dekat dengan solusi dari persamaan kubik x^3 + 2 x^2 + cx = d. Karena fibonacci telah melakukan perjalanan di tanah Islam, ia mungkin digunakan metode Arab aproksimasi.
Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro , Niccolo Tartaglia , dan Gerolamo Cardano memecahkan persamaan kubik umum dalam hal konstanta muncul dalam persamaan. Teman-murid Cardano, Ludovico Ferrari, segera menemukan solusi yang tepat untuk persamaan derajat keempat (lihatpersamaan quartic ), dan sebagai hasilnya, matematikawan untuk beberapa abad berikutnya mencoba untuk menemukan rumus untuk akar dari persamaan derajat lima, atau lebih tinggi . Pada awal abad ke-19, bagaimanapun, matematikawan Norwegia Niels Abel dan matematikawan Perancis Evariste Galoismembuktikan bahwa tidak ada formula seperti itu tidak ada.
Sebuah perkembangan penting dalam aljabar pada abad ke-16 adalah pengenalan simbol untuk diketahui dan untuk kekuatan aljabar dan operasi. Sebagai hasil dari perkembangan ini, Buku III dari géometrie La (1637), yang ditulis oleh filsuf Perancis dan matematikawan Rene Descartes , tampak seperti teks aljabar modern. kontribusi paling signifikan Descartes untuk matematika, bagaimanapun, adalah penemuan geometri analitik , yang mengurangi pemecahan masalah geometri untuk solusi yang aljabar. teks geometri Nya juga mengandung esensi kursus pada teori persamaan , termasuk apa yang disebut pemerintahannya tanda untuk menghitung jumlah dari apa yang disebut Descartes (positif) dan "salah" (negatif) "benar" akar dari suatu persamaan. Pekerjaan dilanjutkan melalui abad ke-18 pada teori persamaan, tetapi tidak sampai 1799 adalah bukti diterbitkan, oleh ahli matematika Jerman Carl Friedrich Gauss , yang menunjukkan bahwa himpunaniap persamaan polinomial himpunanidaknya memiliki satu akar dalam bidang kompleks (lihat Nomor: Bilangan Kompleks ) .
Pada saat Gauss, aljabar telah memasuki fase modern. Perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomial untuk mempelajari struktur sistem matematis abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku obyek matematika, seperti bilangan kompleks , yang ditemui ketika belajar matematika persamaan polinomial.Dua contoh dari sistem tersebut kelompok aljabar (lihat Group) dan quaternions , yang berbagi sifat-sifat sistem bilangan tetapi juga berangkat dari mereka dengan cara-cara penting. Grup dimulai sebagai sistem permutasi dan kombinasi dari akar polinomial, tetapi mereka menjadi salah satu konsep pemersatu utama matematika abad ke-19. Kontribusi penting untuk mempelajari mereka dibuat oleh Galois matematikawan Perancis dan Augustin Cauchy , matematikawan Inggris Arthur Cayley, dan matematikawan Norwegia Niels Abel dan Lie Sophus. Quaternions ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton , yang memperpanjang aritmatika kompleks nomor ke quaternions sementara bilangan kompleks adalah bentuk a + bi, quaternions berada diluar dari form a + bi + cj + dk.
Segera himpunanelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan quaternions. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika . Sejak saat itu, aljabar modern juga disebut abstrak aljabar.
Sumber :
http://www.algebra.com/algebra/about/history/
Sejarah Parabola
Parabola dipelajari oleh Menaechmus yang merupakan murid dari Plato dan
Eudoxus . Ia berusaha untuk menduplikasi kubus, yaitu untuk mencari sisi
kubus yang memiliki volume dua kali lipat dari sebuah kubus yang
diberikan. Oleh karena itu ia berusaha untuk memecahkan x^3 = 2 dengan
metode geometri.
Bahkan metode geometris konstruksi penggaris dan kompas tidak bisa memecahkan ini (tapi Menaechmus tidak tahu ini). Menaechmus dipecahkan itu dengan mencari perpotongan dari dua parabola x^2 = y dan y^2 = 2 x.
Euclid menulis tentang parabola dan itu diberi nama yang sekarang oleh Apollonius. Fokus dan direktori dari parabola itu dikemukakan oleh Pappus .
Pascal mengemukakan parabola sebagai proyeksi lingkaran dan Galileo menunjukkan bahwa proyektil mengikuti jalur parabola.
Gregory dan Newton mengemukakan sebagai properti dari sebuah parabola yang membawa sinar sejajar cahaya untuk fokus.
Pedal parabola dengan titik sebagai titik pedal adalah cissoid . Pedal dari parabola dengan fokus sebagai pedal titik adalah garis lurus. Dengan kaki pedal directrix sebagai titik itu adalah hak strophoid (sebuah strophoid miring untuk himpunaniap titik lain dari directrix). Kurva pedal saat pedal titik gambar fokus dalam directrix adalah Trisectrix dari Maclaurin .
Evolute parabola adalah parabola Neile itu . Dari titik di atas tiga normals evolute dapat ditarik untuk parabola, sementara hanya satu normal dapat ditarik untuk parabola dari titik bawah evolute. Jika fokus parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan ke cardioid . Jika simpul parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan keCissoid dari Diocles . Para kaustik dari parabola dengan sinar tegak lurus terhadap sumbu parabola adalah Tschirnhaus's Cubic .
Bahkan metode geometris konstruksi penggaris dan kompas tidak bisa memecahkan ini (tapi Menaechmus tidak tahu ini). Menaechmus dipecahkan itu dengan mencari perpotongan dari dua parabola x^2 = y dan y^2 = 2 x.
Euclid menulis tentang parabola dan itu diberi nama yang sekarang oleh Apollonius. Fokus dan direktori dari parabola itu dikemukakan oleh Pappus .
Pascal mengemukakan parabola sebagai proyeksi lingkaran dan Galileo menunjukkan bahwa proyektil mengikuti jalur parabola.
Gregory dan Newton mengemukakan sebagai properti dari sebuah parabola yang membawa sinar sejajar cahaya untuk fokus.
Pedal parabola dengan titik sebagai titik pedal adalah cissoid . Pedal dari parabola dengan fokus sebagai pedal titik adalah garis lurus. Dengan kaki pedal directrix sebagai titik itu adalah hak strophoid (sebuah strophoid miring untuk himpunaniap titik lain dari directrix). Kurva pedal saat pedal titik gambar fokus dalam directrix adalah Trisectrix dari Maclaurin .
Evolute parabola adalah parabola Neile itu . Dari titik di atas tiga normals evolute dapat ditarik untuk parabola, sementara hanya satu normal dapat ditarik untuk parabola dari titik bawah evolute. Jika fokus parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan ke cardioid . Jika simpul parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan keCissoid dari Diocles . Para kaustik dari parabola dengan sinar tegak lurus terhadap sumbu parabola adalah Tschirnhaus's Cubic .
Paradoks Matematika
Matematikawan selalu menghadapi masalah karena mereka memperluas
pengetahuan mereka tentang bidang mereka. Sebagian besar masalah dapat
diselesaikan. Namun, beberapa tampaknya tidak ada solusi dan bahkan
dapat menantang matematika, itulah sebabnya mereka selalu menimbulkan
masalah seperti matematika. Ini dikenal sebagai paradoks, yang
pernyataan yang tampaknya bertentangan sendiri atau muncul tidak logis,
tapi tetap bisa jadi benar. Contohnya adalah berkata, "Aku selalu
berbohong." Jika Anda berbohong, Anda mengatakan yang sebenarnya,
tetapi jika Anda mengatakan yang sebenarnya, Anda berbohong. Paradoks
Zeno dengan tak terhingga, dari Cantor dan Russell dengan teori
himpunan, dan paradoks kembar dalam fisika relativitas telah menciptakan
masalah dan argumen untuk matematikawan, serta memaksa mereka untuk
berpikir tentang subyek matematika dengan cara yang berbeda dari
sebelumnya.
Zeno, filsuf Yunani yang tinggal di abad kelima SM, menciptakan beberapa paradoks untuk menunjukkan gagasan ruang dan waktu yang terpisah, dan bahwa dengan membagi mereka satu datang ke banyak kontradiksi. Dua dari beberapa paradoks yang disajikan contoh kontradiksi tersebut.
Yang pertama menyatakan bahwa kura-kura dan pelari cepat Achilles yang akan ras, dan bahwa kura-kura akan diberikan kepala mulai. Zeno mengatakan kepada Achilles bahwa jika ingin mengalahkan kura-kura itu, ia pertama kali harus mengejar ketinggalan dengan itu, tetapi untuk melakukan itu ia pertama kali harus menutupi himpunanengah jarak antara mereka. Kemudian, Zeno mengatakan bahwa himpunanelah Achilles tidak membuat himpunanengah dari jarak asli antara dia dan kura-kura itu, kura-kura akan telah bergerak maju, menciptakan kesenjangan baru antara keduanya. Kemudian Achilles harus menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru sebelum penangkapan kura-kura. Namun, begitu ia menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru, kura-kura akan pindah lagi dan menciptakan kesenjangan baru lagi. Ini berarti bahwa Achilles terus akan menutupi himpunanengah jarak celah, hanya untuk menemukan bahwa ia harus menutupi himpunanengah jarak celah baru. Zeno menyimpulkan bahwa selama kura-kura memiliki kepala mulai, Achilles tidak akan pernah bisa menangkapnya karena dia akan selalu meliputi jarak terbatas dalam urutan interval waktu tak terbatas.
Paradoks kedua mempelajari sebuah panah dalam penerbangan. Zeno mengatakan bahwa jika Anda mulai untuk memecah waktu penerbangan ke dan kecil bertahap, maka Anda dapat memeriksa panah pada suatu saat tertentu, dan pada saat itu panah akan bergerak. Dia melanjutkan dengan mengatakan bahwa jika waktu adalah terdiri dari instants, maka panah tidak pernah bergerak karena pada suatu instan tertentu panah berada pada titik di ruang angkasa tapi tidak dalam gerak (Katz 57).
Paradoks Zeno menciptakan masalah bagi matematikawan karena mereka meneliti gagasan tak terhingga dan infinitesimals dalam ruang terbatas. Aristoteles adalah orang pertama yang mencoba menyangkal pernyataan ini, mengklaim bahwa dalam contoh Achilles, "sebuah objek terbatas tidak bisa datang dalam kontak dengan hal-hal yang secara kuantitatif tak terbatas," yang berarti dibagi-tak terbatas waktu tidak akan mempengaruhi runner. Dalam masalah panah Aristoteles mengatakan waktu yang tidak terdiri dari instants terpisahkan, yang anggapan Zeno, dan bahwa meskipun panah mungkin tidak bergerak pada suatu saat, gerak tidak didefinisikan pada instants tapi selama jangka waktu tertentu (Katz 56 - 7). Meskipun demikian, karena tak terhingga tidak memiliki nilai yang nyata dan tidak nyata secara matematis, selalu ada banyak kontroversi di sekitarnya.
Paradoks Zeno menyebabkan matematikawan berpikir hati-hati tentang konsep infinity dan infinitesimals dan tidak membuat asumsi tentang mereka. Dalam sebuah kuliah tentang Pythagoras dan ilmu Pythagoras dengan Dr Shirley kita belajar bahwa infinitesimals menciptakan masalah bagi orang Yunani. Ilmu Pythagoras ditemui krisis besar pertama dalam matematika ketika mereka menemukan akar kuadrat dari 2 ketika bekerja dengan segitiga. Mereka menganggap semua segitiga siku-siku akan memiliki panjang terbatas, dan terkejut ketika mereka menemukan sebuah segitiga 45-45-90, yang memiliki akar kuadrat dari 2 sebagai panjang sisi miring.
Penelitian infinite Zeno sangat penting untuk matematika karena membantu memimpin perkembangan besar dalam kalkulus. Batas menemukan pendekatan fungsi sebagai mendekati tak terbatas, dan dalam Shirley kuliah Dr pada kalkulus kita belajar itu adalah batas yang diselesaikan krisis kedua dalam matematika tentang bagaimana menafsirkan sebuah "ekstra" dx dalam masalah derivatif. Selanjutnya, di tahun 1600-an Leibniz menjadi terganggu dengan menggunakan nya infinitesimals dalam diferensiasi, dan memutuskan untuk membenarkan penggunaan mereka. Walaupun untuk Leibniz itu tidak pernah benar-benar penting maupun tidak infinitesimals ada, ia menemukan bahwa jika rasio tertentu adalah benar ketika kuantitas terbatas, maka rasio yang sama akan berlaku ketika berhadapan dengan batas-batas dan nilai-nilai yang tak terbatas. Teknik manipulasi menjadi sangat berguna untuk Johann dan Jakob Bernoulli yang menerima infinitesimals sebagai entitas matematika dan menggunakannya untuk membuat penemuan penting dalam kalkulus dan aplikasi nya (Katz 530-1).
Paradoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna keduanya terbatas dan memiliki hubungan n n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan, dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A. Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka (Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B, kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks, kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein, "Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama (Weisstein, Paradoks 1 Cantor).
Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah "yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan definisi yang dia lakukan (Russell Paradox 3).
Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya. Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya, aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam aljabar atau geometri.
Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas, paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti sekarang ini tanpa mereka.
Sumber :
http://tiger.towson.edu/~gstiff1/paradoxpaper.htm
Zeno, filsuf Yunani yang tinggal di abad kelima SM, menciptakan beberapa paradoks untuk menunjukkan gagasan ruang dan waktu yang terpisah, dan bahwa dengan membagi mereka satu datang ke banyak kontradiksi. Dua dari beberapa paradoks yang disajikan contoh kontradiksi tersebut.
Yang pertama menyatakan bahwa kura-kura dan pelari cepat Achilles yang akan ras, dan bahwa kura-kura akan diberikan kepala mulai. Zeno mengatakan kepada Achilles bahwa jika ingin mengalahkan kura-kura itu, ia pertama kali harus mengejar ketinggalan dengan itu, tetapi untuk melakukan itu ia pertama kali harus menutupi himpunanengah jarak antara mereka. Kemudian, Zeno mengatakan bahwa himpunanelah Achilles tidak membuat himpunanengah dari jarak asli antara dia dan kura-kura itu, kura-kura akan telah bergerak maju, menciptakan kesenjangan baru antara keduanya. Kemudian Achilles harus menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru sebelum penangkapan kura-kura. Namun, begitu ia menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru, kura-kura akan pindah lagi dan menciptakan kesenjangan baru lagi. Ini berarti bahwa Achilles terus akan menutupi himpunanengah jarak celah, hanya untuk menemukan bahwa ia harus menutupi himpunanengah jarak celah baru. Zeno menyimpulkan bahwa selama kura-kura memiliki kepala mulai, Achilles tidak akan pernah bisa menangkapnya karena dia akan selalu meliputi jarak terbatas dalam urutan interval waktu tak terbatas.
Paradoks kedua mempelajari sebuah panah dalam penerbangan. Zeno mengatakan bahwa jika Anda mulai untuk memecah waktu penerbangan ke dan kecil bertahap, maka Anda dapat memeriksa panah pada suatu saat tertentu, dan pada saat itu panah akan bergerak. Dia melanjutkan dengan mengatakan bahwa jika waktu adalah terdiri dari instants, maka panah tidak pernah bergerak karena pada suatu instan tertentu panah berada pada titik di ruang angkasa tapi tidak dalam gerak (Katz 57).
Paradoks Zeno menciptakan masalah bagi matematikawan karena mereka meneliti gagasan tak terhingga dan infinitesimals dalam ruang terbatas. Aristoteles adalah orang pertama yang mencoba menyangkal pernyataan ini, mengklaim bahwa dalam contoh Achilles, "sebuah objek terbatas tidak bisa datang dalam kontak dengan hal-hal yang secara kuantitatif tak terbatas," yang berarti dibagi-tak terbatas waktu tidak akan mempengaruhi runner. Dalam masalah panah Aristoteles mengatakan waktu yang tidak terdiri dari instants terpisahkan, yang anggapan Zeno, dan bahwa meskipun panah mungkin tidak bergerak pada suatu saat, gerak tidak didefinisikan pada instants tapi selama jangka waktu tertentu (Katz 56 - 7). Meskipun demikian, karena tak terhingga tidak memiliki nilai yang nyata dan tidak nyata secara matematis, selalu ada banyak kontroversi di sekitarnya.
Paradoks Zeno menyebabkan matematikawan berpikir hati-hati tentang konsep infinity dan infinitesimals dan tidak membuat asumsi tentang mereka. Dalam sebuah kuliah tentang Pythagoras dan ilmu Pythagoras dengan Dr Shirley kita belajar bahwa infinitesimals menciptakan masalah bagi orang Yunani. Ilmu Pythagoras ditemui krisis besar pertama dalam matematika ketika mereka menemukan akar kuadrat dari 2 ketika bekerja dengan segitiga. Mereka menganggap semua segitiga siku-siku akan memiliki panjang terbatas, dan terkejut ketika mereka menemukan sebuah segitiga 45-45-90, yang memiliki akar kuadrat dari 2 sebagai panjang sisi miring.
Penelitian infinite Zeno sangat penting untuk matematika karena membantu memimpin perkembangan besar dalam kalkulus. Batas menemukan pendekatan fungsi sebagai mendekati tak terbatas, dan dalam Shirley kuliah Dr pada kalkulus kita belajar itu adalah batas yang diselesaikan krisis kedua dalam matematika tentang bagaimana menafsirkan sebuah "ekstra" dx dalam masalah derivatif. Selanjutnya, di tahun 1600-an Leibniz menjadi terganggu dengan menggunakan nya infinitesimals dalam diferensiasi, dan memutuskan untuk membenarkan penggunaan mereka. Walaupun untuk Leibniz itu tidak pernah benar-benar penting maupun tidak infinitesimals ada, ia menemukan bahwa jika rasio tertentu adalah benar ketika kuantitas terbatas, maka rasio yang sama akan berlaku ketika berhadapan dengan batas-batas dan nilai-nilai yang tak terbatas. Teknik manipulasi menjadi sangat berguna untuk Johann dan Jakob Bernoulli yang menerima infinitesimals sebagai entitas matematika dan menggunakannya untuk membuat penemuan penting dalam kalkulus dan aplikasi nya (Katz 530-1).
Paradoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna keduanya terbatas dan memiliki hubungan n n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan, dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A. Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka (Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B, kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks, kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein, "Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama (Weisstein, Paradoks 1 Cantor).
Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah "yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan definisi yang dia lakukan (Russell Paradox 3).
Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya. Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya, aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam aljabar atau geometri.
Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas, paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti sekarang ini tanpa mereka.
Sumber :
http://tiger.towson.edu/~gstiff1/paradoxpaper.htm
Tidak ada komentar:
Posting Komentar