Ada kesalahan di dalam gadget ini

Senin, 16 September 2013


 Sejarah Struktur Aljabar

Sejarah aljabar dimulai di Mesir kuno dan Babilonia, di mana orang belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan quadratic (ax^2 + bx = c) persamaan, sertapersamaan tak tentu seperti x^2 + y^2 = z^2, dimana beberapa diketahui terlibat. Orang-orang Babilonia kuno dapat memecahkan persamaan kuadrat dengan prosedur yang sama. Mereka juga bisa memecahkan beberapa persamaan tak tentu.

Para matematikawan Aleksandria Hero dari Alexandria dan Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tapi Diophantus buku Arithmetica ada di tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit. Pengetahuan kuno solusi persamaan pada gilirannya menemukan rumah awal di dunia Islam, di mana ia dikenal sebagai "ilmu restorasi dan balancing." (Kata bahasa Arab untuk restorasi, al-jabru, adalah akar kata aljabar). Pada abad ke-9, matematikawan Arab al-Khawarizmi menulis salah satu aljabar Arab pertama, uraian sistematis dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad ke-9, ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan identitas dari aljabar dan memecahkan masalah-masalah rumit seperti menemukan x, y, dan z sehingga x + y + z = 10, x^2 + y^2 = z^2, dan xz = y^2.

Peradaban kuno menuliskan ekspresi aljabar hanya menggunakan singkatan sesekali, tapi oleh matematikawan abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang sewenang-wenang kekuasaan tinggi tidak diketahui x, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat polinomial serta pengetahuan tentang-teorema binomial. Matematikawan Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis yang diperoleh irisan kerucut, tapi ia tidak bisa menemukan rumus untuk akar. Sebuah terjemahan Latin dari Al-Khawarizmi's Aljabar muncul pada abad 12. Pada awal abad ke-13, matematikawan besar Italia Leonardo fibonacci dicapai pendekatan dekat dengan solusi dari persamaan kubik x^3 + 2 x^2 + cx = d. Karena fibonacci telah melakukan perjalanan di tanah Islam, ia mungkin digunakan metode Arab aproksimasi.

Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro , Niccolo Tartaglia , dan Gerolamo Cardano memecahkan persamaan kubik umum dalam hal konstanta muncul dalam persamaan. Teman-murid Cardano, Ludovico Ferrari, segera menemukan solusi yang tepat untuk persamaan derajat keempat (lihatpersamaan quartic ), dan sebagai hasilnya, matematikawan untuk beberapa abad berikutnya mencoba untuk menemukan rumus untuk akar dari persamaan derajat lima, atau lebih tinggi . Pada awal abad ke-19, bagaimanapun, matematikawan Norwegia Niels Abel dan matematikawan Perancis Evariste Galoismembuktikan bahwa tidak ada formula seperti itu tidak ada.

Sebuah perkembangan penting dalam aljabar pada abad ke-16 adalah pengenalan simbol untuk diketahui dan untuk kekuatan aljabar dan operasi. Sebagai hasil dari perkembangan ini, Buku III dari géometrie La (1637), yang ditulis oleh filsuf Perancis dan matematikawan Rene Descartes , tampak seperti teks aljabar modern. kontribusi paling signifikan Descartes untuk matematika, bagaimanapun, adalah penemuan geometri analitik , yang mengurangi pemecahan masalah geometri untuk solusi yang aljabar. teks geometri Nya juga mengandung esensi kursus pada teori persamaan , termasuk apa yang disebut pemerintahannya tanda untuk menghitung jumlah dari apa yang disebut Descartes (positif) dan "salah" (negatif) "benar" akar dari suatu persamaan. Pekerjaan dilanjutkan melalui abad ke-18 pada teori persamaan, tetapi tidak sampai 1799 adalah bukti diterbitkan, oleh ahli matematika Jerman Carl Friedrich Gauss , yang menunjukkan bahwa himpunaniap persamaan polinomial himpunanidaknya memiliki satu akar dalam bidang kompleks (lihat Nomor: Bilangan Kompleks ) .

Pada saat Gauss, aljabar telah memasuki fase modern. Perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomial untuk mempelajari struktur sistem matematis abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku obyek matematika, seperti bilangan kompleks , yang ditemui ketika belajar matematika persamaan polinomial.Dua contoh dari sistem tersebut kelompok aljabar (lihat Group) dan quaternions , yang berbagi sifat-sifat sistem bilangan tetapi juga berangkat dari mereka dengan cara-cara penting. Grup dimulai sebagai sistem permutasi dan kombinasi dari akar polinomial, tetapi mereka menjadi salah satu konsep pemersatu utama matematika abad ke-19. Kontribusi penting untuk mempelajari mereka dibuat oleh Galois matematikawan Perancis dan Augustin Cauchy , matematikawan Inggris Arthur Cayley, dan matematikawan Norwegia Niels Abel dan Lie Sophus. Quaternions ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton , yang memperpanjang aritmatika kompleks nomor ke quaternions sementara bilangan kompleks adalah bentuk a + bi, quaternions berada diluar dari form a + bi + cj + dk.

Segera himpunanelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan quaternions. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika . Sejak saat itu, aljabar modern juga disebut abstrak aljabar.

Sumber :

http://www.algebra.com/algebra/about/history/ 


 Sejarah Parabola

Parabola dipelajari oleh Menaechmus yang merupakan murid dari Plato dan Eudoxus . Ia berusaha untuk menduplikasi kubus, yaitu untuk mencari sisi kubus yang memiliki volume dua kali lipat dari sebuah kubus yang diberikan. Oleh karena itu ia berusaha untuk memecahkan x^3 = 2 dengan metode geometri.

Bahkan metode geometris konstruksi penggaris dan kompas tidak bisa memecahkan ini (tapi Menaechmus tidak tahu ini). Menaechmus dipecahkan itu dengan mencari perpotongan dari dua parabola x^2 = y dan y^2 = 2 x.

Euclid menulis tentang parabola dan itu diberi nama yang sekarang oleh Apollonius. Fokus dan direktori dari parabola itu dikemukakan oleh Pappus .
Pascal mengemukakan parabola sebagai proyeksi lingkaran dan Galileo menunjukkan bahwa proyektil mengikuti jalur parabola.

Gregory dan Newton mengemukakan sebagai properti dari sebuah parabola yang membawa sinar sejajar cahaya untuk fokus.

Pedal parabola dengan titik sebagai titik pedal adalah cissoid . Pedal dari parabola dengan fokus sebagai pedal titik adalah garis lurus. Dengan kaki pedal directrix sebagai titik itu adalah hak strophoid (sebuah strophoid miring untuk himpunaniap titik lain dari directrix). Kurva pedal saat pedal titik gambar fokus dalam directrix adalah Trisectrix dari Maclaurin .

Evolute parabola adalah parabola Neile itu . Dari titik di atas tiga normals evolute dapat ditarik untuk parabola, sementara hanya satu normal dapat ditarik untuk parabola dari titik bawah evolute. Jika fokus parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan ke cardioid . Jika simpul parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan keCissoid dari Diocles . Para kaustik dari parabola dengan sinar tegak lurus terhadap sumbu parabola adalah Tschirnhaus's Cubic .

 Paradoks Matematika

Matematikawan selalu menghadapi masalah karena mereka memperluas pengetahuan mereka tentang bidang mereka. Sebagian besar masalah dapat diselesaikan. Namun, beberapa tampaknya tidak ada solusi dan bahkan dapat menantang matematika, itulah sebabnya mereka selalu menimbulkan masalah seperti matematika. Ini dikenal sebagai paradoks, yang pernyataan yang tampaknya bertentangan sendiri atau muncul tidak logis, tapi tetap bisa jadi benar. Contohnya adalah berkata, "Aku selalu berbohong." Jika Anda berbohong, Anda mengatakan yang sebenarnya, tetapi jika Anda mengatakan yang sebenarnya, Anda berbohong. Paradoks Zeno dengan tak terhingga, dari Cantor dan Russell dengan teori himpunan, dan paradoks kembar dalam fisika relativitas telah menciptakan masalah dan argumen untuk matematikawan, serta memaksa mereka untuk berpikir tentang subyek matematika dengan cara yang berbeda dari sebelumnya.
Zeno, filsuf Yunani yang tinggal di abad kelima SM, menciptakan beberapa paradoks untuk menunjukkan gagasan ruang dan waktu yang terpisah, dan bahwa dengan membagi mereka satu datang ke banyak kontradiksi. Dua dari beberapa paradoks yang disajikan contoh kontradiksi tersebut.

Yang pertama menyatakan bahwa kura-kura dan pelari cepat Achilles yang akan ras, dan bahwa kura-kura akan diberikan kepala mulai. Zeno mengatakan kepada Achilles bahwa jika ingin mengalahkan kura-kura itu, ia pertama kali harus mengejar ketinggalan dengan itu, tetapi untuk melakukan itu ia pertama kali harus menutupi himpunanengah jarak antara mereka. Kemudian, Zeno mengatakan bahwa himpunanelah Achilles tidak membuat himpunanengah dari jarak asli antara dia dan kura-kura itu, kura-kura akan telah bergerak maju, menciptakan kesenjangan baru antara keduanya. Kemudian Achilles harus menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru sebelum penangkapan kura-kura. Namun, begitu ia menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru, kura-kura akan pindah lagi dan menciptakan kesenjangan baru lagi. Ini berarti bahwa Achilles terus akan menutupi himpunanengah jarak celah, hanya untuk menemukan bahwa ia harus menutupi himpunanengah jarak celah baru. Zeno menyimpulkan bahwa selama kura-kura memiliki kepala mulai, Achilles tidak akan pernah bisa menangkapnya karena dia akan selalu meliputi jarak terbatas dalam urutan interval waktu tak terbatas.

Paradoks kedua mempelajari sebuah panah dalam penerbangan. Zeno mengatakan bahwa jika Anda mulai untuk memecah waktu penerbangan ke dan kecil bertahap, maka Anda dapat memeriksa panah pada suatu saat tertentu, dan pada saat itu panah akan bergerak. Dia melanjutkan dengan mengatakan bahwa jika waktu adalah terdiri dari instants, maka panah tidak pernah bergerak karena pada suatu instan tertentu panah berada pada titik di ruang angkasa tapi tidak dalam gerak (Katz 57).

Paradoks Zeno menciptakan masalah bagi matematikawan karena mereka meneliti gagasan tak terhingga dan infinitesimals dalam ruang terbatas. Aristoteles adalah orang pertama yang mencoba menyangkal pernyataan ini, mengklaim bahwa dalam contoh Achilles, "sebuah objek terbatas tidak bisa datang dalam kontak dengan hal-hal yang secara kuantitatif tak terbatas," yang berarti dibagi-tak terbatas waktu tidak akan mempengaruhi runner. Dalam masalah panah Aristoteles mengatakan waktu yang tidak terdiri dari instants terpisahkan, yang anggapan Zeno, dan bahwa meskipun panah mungkin tidak bergerak pada suatu saat, gerak tidak didefinisikan pada instants tapi selama jangka waktu tertentu (Katz 56 - 7). Meskipun demikian, karena tak terhingga tidak memiliki nilai yang nyata dan tidak nyata secara matematis, selalu ada banyak kontroversi di sekitarnya.

Paradoks Zeno menyebabkan matematikawan berpikir hati-hati tentang konsep infinity dan infinitesimals dan tidak membuat asumsi tentang mereka. Dalam sebuah kuliah tentang Pythagoras dan ilmu Pythagoras dengan Dr Shirley kita belajar bahwa infinitesimals menciptakan masalah bagi orang Yunani. Ilmu Pythagoras ditemui krisis besar pertama dalam matematika ketika mereka menemukan akar kuadrat dari 2 ketika bekerja dengan segitiga. Mereka menganggap semua segitiga siku-siku akan memiliki panjang terbatas, dan terkejut ketika mereka menemukan sebuah segitiga 45-45-90, yang memiliki akar kuadrat dari 2 sebagai panjang sisi miring.

Penelitian infinite Zeno sangat penting untuk matematika karena membantu memimpin perkembangan besar dalam kalkulus. Batas menemukan pendekatan fungsi sebagai mendekati tak terbatas, dan dalam Shirley kuliah Dr pada kalkulus kita belajar itu adalah batas yang diselesaikan krisis kedua dalam matematika tentang bagaimana menafsirkan sebuah "ekstra" dx dalam masalah derivatif. Selanjutnya, di tahun 1600-an Leibniz menjadi terganggu dengan menggunakan nya infinitesimals dalam diferensiasi, dan memutuskan untuk membenarkan penggunaan mereka. Walaupun untuk Leibniz itu tidak pernah benar-benar penting maupun tidak infinitesimals ada, ia menemukan bahwa jika rasio tertentu adalah benar ketika kuantitas terbatas, maka rasio yang sama akan berlaku ketika berhadapan dengan batas-batas dan nilai-nilai yang tak terbatas. Teknik manipulasi menjadi sangat berguna untuk Johann dan Jakob Bernoulli yang menerima infinitesimals sebagai entitas matematika dan menggunakannya untuk membuat penemuan penting dalam kalkulus dan aplikasi nya (Katz 530-1).

Paradoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna keduanya terbatas dan memiliki hubungan n  n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan, dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A. Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka (Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B, kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks, kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein, "Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama (Weisstein, Paradoks 1 Cantor).

Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah "yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan definisi yang dia lakukan (Russell Paradox 3).

Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya. Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya, aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam aljabar atau geometri.

Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas, paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti sekarang ini tanpa mereka.

Sumber :
http://tiger.towson.edu/~gstiff1/paradoxpaper.htm 

BSM MTS NEGERI WOLOWARU


MTs NEGERI WOLOWARU
NAMA DAN NOMOR REKENING SISWA PENERIMA BEA SISWA MISKIN

No.
Nama
No Rekening
Ket
1.
Sit Hadijah Wanyo QQ Sudarmin
4652-01-012468-53-2

2.
Ibrahim Senda QQ Saruni Wedho
4652-01-012485-53-4

3.
Saaban QQ Abdul Rafik Arba’a
4652-01-010873-53-7

4.
Siti Aminah Wii QQ Asna Rey
4652-01-012511-53-9

5.
Mariana Mara QQ Siti Sumarni
4652-01-012479-53-3

6.
Afrida Kasa QQ Suaib Wangge
4652-01-012528-53-6

7.
Saaban QQ Siti Sara
4652-01-010874-53-3

8.
Fatma Arba’a QQ Nyimas Kamalia
4652-01-010838-53-7

9.
Asia Rukaya QQ Safitri Reko
4652-01-010876-53-5

10.
Rustam Dae QQ Yunita Sofia Tete
4652-01-010887-53-6

11.
Jainudin Demu QQ Samsul Jainudin Demu
4652-01-012489-53-8

12.
Muhamad Nur QQ Mukrizal Zainul Karim
4652-01-010871-53-5

13.
Amina Lud QQ Aziz Abdulah Rasyid
4652-01-012475-53-9

14.
Hafsa Be QQ Ahmad Ramli Moro
4652-01-010880-53-4

15.
Johra Ismail QQ Ramadhan Taiman
4652-01-012488-53-2

16.
Siti Aisyah QQ Rani Hadijah Rona
4652-01-012484-53-8

17.
Saidah Ridwan QQ Kuntari A S
4652-01-012478-53-7

18.
Siti Hawa QQ Mastura H Akbar
4652-01-012474-53-3

19.
Saliha QQ Adelina Dwi Lestari Pewa
4652-01-010879-53-3

20.
Nurma Nona QQ Asna
4652-01-012499-53-3

21.
Sarifa Hamid QQ Nur Saima Hamid
4652-01-010882-53-6

22.
Sauda Wea QQ Risnayanti
4652-01-012492-53-1

23.
Afla Ali QQ Muhamad Tusrin
4652-01-012473-53-7

24.
Nurhayati QQ Wafirati Hasana
4652-01-012469-53-8

25.
Saaban Bakli QQ Ruslin Saaban
4652-01-012470-53-9

26.
Mohamad Amir QQ Nur Afni Saidah Tepa
4652-01-012471-53-5

27.
Udrus Teru QQ Jejen Siregar
4652-01-012497-53-1

28.
Sofia Feso QQ Ahmad Najrul
4652-01-012504-53-2

29.
Amina Nona QQ Muslim Arsad
4652-01-012476-53-5

30.
Mariana QQ Hafni Habiba
4652-01-012461-53-0

31.
Nurani Tata QQ Tayib
4652-01-012490-53-9

32.
Uma Eku QQ Ramlan Ema
4652-01-012495-53-9

33.
Fatimah Dema QQ Samsudin Nanga
4652-01-012498-53-7

34.
Nurhayati Akbar QQ Suharlindram
4652-01-012496-53-5

35.
Ibrahim Bawi QQ Muhammad Rizwan
4652-01-012502-53-0

36.
Abuman Benge QQ Nur Saima
4652-01-012483-53-2

37.
Siti Fatimah Mbu QQ Susarna Suojisto
4652-01-012482-53-6

38.
Suleman Nggela QQ Nurmala
4652-01-012493-53-7

39.
Yarti Mustafa QQ Purwanto Mustafa
4652-01-012486-53-0

40.
Adha Liga QQ Nofilia Liga
4652-01-012494-53-3

41.
Nurbaina QQ Nurtati Boa
4652-01-012500-53-8


SEJARAH MATEMATIKA (andi lola)

Sejarah Irisan Kerucut

Sebuah kerucut (atau bagian kerucut) adalah kurva bidang yang diperoleh dengan memotong kerucut dengan bidang yang melalui verteks kerucut. Ada tiga kemungkinan, tergantung pada posisi relatif dari kerucut dan bidang.

Jika tidak ada garis kerucut sejajar dengan bidang, persimpangan adalah kurva tertutup, yang disebut elips. Jika salah satu garis kerucut sejajar dengan bidang, persimpangan merupakan kurva terbuka yang kedua ujungnya asimtotik paralel, ini disebut parabola. Akhirnya, mungkin ada dua garis sejajar di kerucut ke bidang, kurva dalam hal ini memiliki dua buah terbuka, dan disebut sebuah hiperbola.
Bagian irisan kerucut antara kurva tertua, dan merupakan subjek matematika tertua dipelajari secara sistematis dan menyeluruh. Irisan kerucut telah ditemukan oleh Menaechmus (a, Yunani c.375-325 SM), guru dari Alexander Agung. Mereka yang dibina dalam upaya untuk mengatasi tiga masalah terkenal trisecting sudut, duplikasi kubus, dan mengkuadratkan lingkaran. Irisan kerucut pertama kali didefinisikan sebagai persimpangan: kerucut lingkaran tegak dari berbagai sudut simpul, sebuah bidang tegak lurus terhadap unsur kerucut. (Sebuah unsur kerucut adalah himpunaniap baris yang membentuk kerucut) Tergantung sudut kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dari 90 derajat, masing-masing didapatkan elips, parabola, atau hiperbola.

Appollonius (c. 262-190 SM) (dikenal sebagai The Great geometri) diperpanjang sebelumnya hasil dan konsolidasi irisan kerucut menjadi Irisan kerucut Bagian monografi, yang terdiri dari delapan buku dengan 487 proposisi. Euclid's Appollonius 'Irisan kerucut Bagian dan Elemen mungkin mewakili intisari matematika Yunani. Appollonius adalah yang pertama untuk mendasarkan teori ketiga irisan kerucut pada bagian satu kerucut lingkaran, kanan atau miring. Dia juga yang memberikan nama elips, parabola, dan hiperbola.

Dalam hukum gerakan planet Kepler, Descarte dan Fermat koordinat geometri, dan awal geometri proyektif dimulai oleh Desargues, La Hire, Pascal mendorong irisan kerucut ke tingkat tinggi. Banyak matematikawan kemudian juga telah membuat kontribusi irisan kerucut, khususnya dalam pengembangan geometri proyektif mana irisan kerucut adalah obyek fundamental sebagai lingkaran dalam geometri Yunani. Di antara kontributor, kami mungkin menemukan Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, dan Steiner. bagian Irisan kerucut adalah bahasan klasik kaya yang telah mendorong banyak perkembangan dalam sejarah matematika.

Geometri Euclides

Geometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang mengikuti satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang telah didefinisikan dalam bukunya The Elements. Lebih khusus, geometri Euclid berbeda dari jenis geometri lain dalam dalil kelima, sering disebut dengaan postulat paralel. Non-Euclidean geometri menggantikan postulat kelima ini dengan salah satu dari dua alternatif postulat dan mengarah ke geometri hiperbolik atau geometri eliptik. Ada dua jenis geometri Euclidean: geometri bidang, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-dua, dan geometri padat, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-tiga.

Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :
1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik.
2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus.
3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai pusatnya.
4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen.
5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.

Dalil kelima dikenal sebagai postulat paralel. Paralel ini menyatakan bahwa postulat diberikan himpunan tiap segmen garis lurus dan titik tidak bahwa segmen garis, ada satu dan hanya satu garis lurus yang melewati titik itu dan tidak pernah memotong baris pertama, tidak peduli seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang. Meskipun kelima postulat Euclid tidak dapat dibuktikan sebagai teorema, selama bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan. Banyak usaha yang ditujukan untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena diperlukan untuk membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-dalil lainnya. Lebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi independen dari empat lainnya. Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus untuk geometri untuk dipertimbangkan Euclidean.

Pada tahun 1826 Nikolay Lobachevsky dan pada tahun 1832 János Bolyai, dikembangkan secara independennon-Euclidean geometri yang konsisten diri sepenuhnya di mana postulat kelima tidak menjadi pegangan. Johann Carl Friedrich Gauss pernah menemukan ini tapi hasilnya tidak dipublikasikan. Euclid berusaha menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam proposisi pertama 28 The Elements, tetapi untuk proposisi 29 ia membutuhkannya. Bagian dari geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat pertama postulat Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Sebagaimana dinyatakan di atas, dalil kelima dan karenanya paralel dalil menggambarkan geometri Euclidean. Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan "garis tidak ada yang melewati titik" geometri maka elips atau bulat dijelaskan.Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan "minimal dua baris ada terjadilah bahwa melalui titik bahwa" maka geometri hiperbolik dijelaskan.

Seperti dinyatakan di atas, dua jenis geometri Euclidean, geometri bidang dan geometri padat, yang jelas berbeda. Geometri bidang adalah bagian dari geometri dalam ruang dua dimensi yang berhubungan dengan gambaran dari bidang, seperti garis, lingkaran dan poligon. Geometri padat adalah bagian dari geometri dalam ruang tiga-dimensi yang berhubungan dengan makanan padat, seperti polyhedra, bola, dan garis dan bidang. Dalam kedua jenis kelima postulat Euclidean geometri Euclid sesuai, tetapi masing-masing menggambarkan tokoh dalam berbagai jenis ruang. Ruang Euclidean adalah ruang semua-tuple n bilangan real dan dilambangkan sebagai R^n. Ruang ini adalah ruang vektor dan memiliki dimensi topologi (Lebesgue dimensi meliputi) n (lihat topologi). Contravariant dan jumlah kovarian yang himpunanara dalam ruang Euclidean. R^1 adalah garis yang nyata, yaitu garis dengan skala tetap yang nomor sesuai dengan poin yang unik pada baris. Generalisasi garis nyata di-dimensi ruang dua disebut bidang Euclidean dan dinotasikan R^2.

 Geometri Non Euclides

Pada sekitar 300 SM Euclid menulis The Elements, sebuah buku yang menjadi salah satu buku paling terkenal yang pernah ditulis. Euclid menyatakan lima postulat yang ia mendasarkan semua teoremanya. Postulat kelima Euclid yang berbunyi :
“Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu”.
Jelas bahwa postulat kelima berbeda dari keempat lainnya. Itu tidak memuaskan Euclid dan ia berusaha menghindari penggunaannya selama mungkin, sebenarnya 28 proposisi pertama The Elements terbukti tanpa menggunakannya. Komentar lain yang muncul pada saat ini adalah bahwa Euclid dan banyak pengikutinya, mengasumsikan bahwa garis lurus itu tak terbatas.

Proclus (410-485) menulis komentar di The Elements mana dia komentar pada bukti-bukti mencoba untuk menyimpulkan dalil kelima dari empat lainnya, khususnya ia mencatat bahwa Ptolemy telah menghasilkan bukti 'palsu'. Proclus kemudian melanjutkan untuk memberikan bukti palsu sendiri. Namun ia tidak memberikan dalil berikut ini yang himpunanara dengan postulat kelima.
Aksioma Playfair: “Mengingat garis dan titik tidak di baris tersebut, adalah mungkin untuk menarik tepat satu garis melalui titik sejajar ke garis.”
Meskipun terkenal dari zaman Proclus , ini menjadi dikenal sebagai Aksioma Playfair himpunanelah John Playfair menulis komentar terkenal pada Euclid tahun 1795 di mana ia mengusulkan mengganti Euclid 's postulat kelima dengan aksioma tersebut.
Banyak usaha dilakukan untuk membuktikan dalil kelima dari empat lainnya, banyak dari mereka yang diterima sebagai bukti untuk jangka waktu sampai kesalahan itu ditemukan. Selalu kesalahan itu dengan asumsi beberapa 'jelas' properti yang ternyata himpunanara dengan dalil kelima. bukti 'Satu seperti' diberikan oleh Wallis tahun 1663 ketika ia berpikir bahwa ia telah menyimpulkan dalil kelima, tapi ia benar-benar menunjukkan hal itu adalah himpunanara dengan:
“Untuk himpunaniap segitiga, terdapat sebuah segitiga yang sama besarnya sewenang-wenang.”

Salah satu bukti mencoba ternyata lebih penting daripada kebanyakan orang lain. Ini diproduksi tahun 1697 oleh Girolamo Saccheri. Pentingnya Saccheri pekerjaan adalah bahwa ia dianggap dalil kelima palsu dan berusaha untuk mendapatkan kontradiksi.
Berikut adalah segiempat Saccheri

Dalam gambar tersebut Saccheri membuktikan bahwa sudut puncak di D dan C merupakan bukti equal.The menggunakan sifat-sifat segitiga kongruen yang Euclid dibuktikan dalam Proposisi4 dan 8 yang terbukti sebelum postulat kelima digunakan.Saccheri telah menunjukkan:
a) sudut puncak adalah> 90 ° (hipotesis dari sudut tumpul).
b) sudut puncak adalah <90 ° (hipotesis dari sudut akut).
c) sudut puncak adalah = 90 ° (hipotesis dari sudut kanan).

Postulat kelima Euclid adalah c). Saccheri membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul tersirat dalil kelima, sehingga mendapatkan kontradiksi. Saccheri kemudian mempelajari hipotesis sudut lancip dan banyak teorema yang berasal dari non-Euclidean geometri tanpa menyadari apa yang ia lakukan. Namun ia akhirnya 'membuktikan' bahwa hipotesis sudut lancip menyebabkan kontradiksi dengan asumsi bahwa ada 'titik di infinity' yang terletak di bidang.

Pada 1766 Lambert mengikuti garis yang mirip dengan Saccheri . Namun ia tidak jatuh ke dalam perangkap yang Saccheri jatuh ke dalam dan menyelidiki hipotesis sudut lancip tanpa memperoleh kontradiksi. Lambert memperhatikan bahwa, dalam hal ini geometri baru, jumlah sudut segitiga meningkat sebagai kawasan segitiga menurun.
Legendre menghabiskan 40 tahun hidupnya bekerja pada postulat paralel dan bekerja muncul dalam lampiran berbagai edisi buku sukses geometrinya sangat Elements de Géométrie. Legendre membuktikan bahwa Euclid 's postulat kelima adalah himpunan dengan jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut siku-siku. Legendre menunjukkan, Saccheri telah lebih dari 100 tahun sebelumnya, bahwa jumlah sudut segitiga tidak bisa lebih dari dua sudut siku-siku. Ini, sekali lagi seperti Saccheri, beristirahat pada kenyataan bahwa garis lurus yang tak terbatas. Dalam mencoba untuk menunjukkan bahwa nilai sudut tidak boleh kurang dari 180°, Legendre mengasumsikan bahwa melalui himpunan titik di pedalaman sudut selalu mungkin untuk menarik garis yang memenuhi kedua sisi sudut. Hal ini ternyata menjadi bentuk lain himpunanara dengan postulat kelima, tapi Legendre tidak pernah menyadari kesalahannya sendiri.

Dasar geometri adalah dengan saat ini tergenang di dalam masalah dalil paralel. D'Alembert , pada tahun 1767, menyebutnya skandal geometri dasar. Orang pertama yang benar-benar datang untuk memahami masalah paralel adalah Gauss. Dia mulai bekerja pada postulat kelima tahun 1792 sementara hanya 15 tahun, pada awalnya mencoba untuk membuktikan postulat kesejajaran dari empat lainnya. Pada 1813 ia telah membuat sedikit kemajuan dan menulis:
“Dalam teori paralel kita bahkan sekarang tidak lebih jauh dari Euclid . Ini merupakan bagian memalukan matematika ...”

Namun dengan 1817 Gauss telah menjadi yakin bahwa postulat kelima independen dari empat postulat lainnya. Dia mulai bekerja di luar konsekuensi geometri di mana lebih dari satu baris dapat ditarik melalui paralel titik tertentu untuk garis yang diberikan. Mungkin yang paling mengejutkan dari semua, Gauss pernah menerbitkan karya ini, tetapi merahasiakannya. Pada waktu berpikir didominasi oleh Kant yang telah menyatakan bahwa geometri Euclidean adalah kebutuhan yang tak terelakkan dari pemikiran dan Gauss tidak menyukai kontroversi.

Gauss membahas teori paralel dengan temannya, matematikawan Farkas Bolyai yang membuat bukti palsu beberapa postulat paralel. Farkas Bolyai mengajari anaknya János Bolyai matematika. Pada tahun 1823 János Bolyai menulis kepada ayahnya, mengatakan bahwa dia mengetahui bahwa Gaus telah menemukan masalah tersebut sebelumnya namun tidak mempublikasikannya. János Bolyai butuh waktu dua tahun untuk menerbitkan bukunya.

Pekerjaan Bolyai berkurang karena Lobachevsky menerbitkan bekerja pada geometri non Euclidean 1829. Baik Bolyai maupun Gauss tahu pekerjaan Lobachevsky, terutama karena hanya diterbitkan dalam bahasa Rusia di Kazan Messenger publikasi universitas lokal. Lobachevsky bernasib tidak lebih baik dari Bolyai dalam memperoleh pengakuan publik atas kerja pentingnya. Ia menerbitkan investigasi geometris pada teori paralel pada tahun 1840 yang dalam 61 halamannya, memberikan catatan paling jelas dari pekerjaan Lobachevsky.

Penerbitan rekening di Perancis di Crelle 's 's Journal pada tahun 1837 membawa karyanya di-Euclidean geometri non khalayak luas tetapi komunitas matematika tidak siap untuk menerima ide-ide begitu revolusioner.
Dalam Lobachevsky buklet 1840 ia menjelaskan dengan jelas bagaimana geometri non-Euclidean karya-karyanya.
“Semua garis lurus yang dalam bidang keluar dari titik bisa, dengan mengacu pada garis lurus yang diberikan pada bidang yang sama, dibagi menjadi dua kelas - ke dalam pemotongan dan non-potong. garis batas ini dari satu dan kelas lain dari baris tersebut akan dipanggil sejajar dengan garis yang diketahui.”

Berikut ini adalah diagram Lobachevsky

Oleh karena itu Lobachevsky telah menggantikan postulat kelima Euclid dengan Postulat paralel Lobachevsky:
“Terdapat dua garis sejajar dengan garis yang diberikan melalui suatu titik tertentu tidak di telepon.”

Sumber :

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry 


 Sejarah Teori Grup

Teori grup adalah abstraksi gagasan yang umum untuk sejumlah bidang utama yang sedang dipelajari dasarnya secara bersamaan.
Tiga bidang utama yang menimbulkan teori grup adalah:
(1) geometri pada awal abad 19,
(2) teori bilangan pada akhir abad ke 18,
(3) teori persamaan aljabar pada akhir abad ke 18 yang mengarah ke studi tentang permutasi.

(1) Geometri telah dipelajari untuk waktu yang sangat lama sehingga wajar untuk bertanya apa yang terjadi pada geometri pada awal abad 19 yang memberikan kontribusi pada peningkatan konsep kelompok. Geometri telah mulai kehilangan 'metrik' nya karakter dengan geometri proyektif dan non-euclidean sedang dipelajari. Juga gerakan untuk belajar geometri dalam dimensi n mengarah ke abstraksi dalam geometri itu sendiri. Perbedaan antara dan kejadian geometri metrik berasal dari karya Monge , muridnya Carnot dan mungkin yang paling penting pekerjaan Poncelet. Non-euclidean geometri dipelajari oleh Lambert , Gauss ,Lobachevsky dan János Bolyai antara lain.
Möbius pada tahun 1827, meskipun ia benar-benar menyadari konsep kelompok, mulai mengklasifikasikan geometri menggunakan fakta bahwa geometri tertentu studi sifat invarian bawah kelompok tertentu. Steiner pada tahun 1832 mempelajari pengertian geometri sintetis yang akhirnya menjadi bagian dari penelitian kelompok transformasi.

(2) Tahun 1761 Euler belajar aritmatika modular. Secara khusus ia memeriksa sisa kekuasaan dari modulo n nomor. Meskipun Euler pekerjaan ', tentu saja, tidak dinyatakan dalam istilah teoritis kelompok dia tidak memberikan contoh penguraian kelompok abelian ke cohimpunans dari sebuah subkelompok. Dia juga membuktikan sebuah kasus khusus dari urutan subkelompok menjadi pembagi dari tatanan kelompok.
Gauss pada tahun 1801 adalah untuk mengambil Euler pekerjaan 'lebih jauh dan memberikan cukup banyak bekerja pada aritmatika modular yang berjumlah cukup banyak teori kelompok abelian. Dia memeriksa perintah elemen dan membuktikan (meskipun tidak dalam notasi ini) bahwa ada sub untuk himpunaniap nomor membagi urutan grup siklik. Gauss juga diperiksa kelompok abelian lainnya. Dia memandang bentuk kuadrat biner
ax 2 + 2 bxy + cy 2 di mana a, b, c adalah bilangan bulat.
Gauss memeriksa perilaku bentuk yang transformasi dan substitusi. Dia partisi bentuk ke dalam kelas dan kemudian menentukan komposisi di kelas. Gaussmembuktikan bahwa urutan komposisi tiga bentuk adalah material begitu, dalam bahasa modern, hukum asosiatif berlaku. Bahkan Gauss memiliki kelompok abelian terbatas dan kemudian (tahun 1869).

(3) Permutasi pertama kali dipelajari oleh Lagrange dalam makalahnya 1770 pada teori persamaan aljabar. Lagrange 's objek utama adalah untuk mengetahui mengapa dan quartic persamaan kubik dapat diselesaikan secara aljabar. Dalam mempelajari kubik, misalnya, Lagrange mengasumsikan akar dari persamaan kubik yang diberikan adalah x',''x dan x'''. Kemudian, mengambil 1, w, w^2 sebagai akar kubus persatuan, ia memeriksa ekspresi
R = x '+ wx''+ w^2 x'''
dan catatan yang dibutuhkan hanya dua nilai yang berbeda di bawah enam permutasi dari akar x ', x'', x'''. Meskipun awal kelompok teori permutasi dapat dilihat dalam karya ini, Lagrange tidak pernah composes permutasi nya sehingga dalam beberapa hal tidak pernah membahas kelompok sama sekali.

Orang pertama yang mengklaim bahwa persamaan derajat 5 tidak bisa diselesaikan secara aljabar adalah Ruffini . Pada tahun 1799 ia menerbitkan karya yang tujuannya adalah untuk menunjukkan hal tdk dpt memecahkan persamaan quintic umum. Ruffini karya 'didasarkan pada bahwa dari Lagrange tetapi Ruffini memperkenalkan kelompok permutasi. Ini dia sebut permutasi dan secara eksplisit menggunakan properti penutupan (hukum asosiatif selalu berlaku untuk permutasi). Ruffini membagi permutazione ke dalam jenis, permutasi semplice yaitu yang merupakan grup siklik dalam notasi modern, dan composta permutasi yang kelompok-kelompok non-siklik.
Permutasi composta The Ruffini terbagi menjadi tiga jenis yang dalam notasi saat ini adalah kelompok intransitif, kelompok imprimitive transitif dan kelompok primitif transitif.

Bukti Ruffini dari hal tersebut mengecewakan dengan kurangnya reaksi terhadapnya, kertas Ruffini diterbitkan bukti lebih lanjut. Dalam sebuah kertas 1802 ia menunjukkan bahwa kelompok permutasi dikaitkan dengan sebuah persamaan tereduksi transitif mengambil pemahaman dengan baik di luar itu dari Lagrange .

Cauchy memainkan peran utama dalam mengembangkan teori permutasi. kertas pertamanya pada subyek tersebut adalah pada tahun 1815 tetapi pada tahap iniCauchy dimotivasi oleh permutasi dari akar persamaan. Namun, pada tahun 1844, Cauchy menerbitkan karya besar yang membentuk teori permutasi sebagai subyek di dalam dirinya sendiri. Dia memperkenalkan notasi kekuasaan, positif dan negatif, permutasi (dengan kekuatan 0 memberikan permutasi identitas), mendefinisikan urutan dari suatu permutasi, memperkenalkan notasi siklus dan menggunakan istilah Systeme des conjuguées substitusi grup. Cauchy panggilan dua permutasi sama jika mereka memiliki struktur siklus yang sama dan membuktikan bahwa ini adalah sama dengan permutasi yang konjugat.

Abel , pada tahun 1824, memberikan bukti diterima pertama dari hal tdk dpt mencairkan dari quintic, dan ia menggunakan ide-ide yang ada di permutasi dari akar tetapi sedikit baru dalam perkembangan teori grup.

Galois tahun 1831 adalah yang pertama untuk benar-benar memahami bahwa solusi dari suatu persamaan aljabar adalah terkait dengan struktur kelompok le Groupe permutasi yang berkaitan dengan persamaan. Dengan 1832 Galois telah menemukan bahwa sub kelompok khusus (sekarang disebut subkelompok normal) yang mendasar. Dia menyebut kelompok dekomposisi ke dalam cohimpunans dari sub dekomposisi yang tepat jika hak dan dekomposisi cohimpunan kiri bersamaan. Galois kemudian menunjukkan bahwa abelian sederhana kelompok non-order terkecil memiliki urutan 60.

Pekerjaan Galois tidak diketahui sampai Liouville menerbitkan makalah Galois pada tahun 1846. Liouville melihat dengan jelas hubungan antara teori permutasi Cauchy dan pekerjaan Galois. Namun Liouville gagal untuk memahami bahwa pentingnya Galois bekerja terletak pada konsep kelompok.

Betti mulai pada tahun 1851 menerbitkan karya yang berhubungan teori permutasi dan teori persamaan. Bahkan Betti adalah yang pertama untuk membuktikan bahwa Galois 'kelompok yang terkait dengan persamaan sebenarnya sekelompok permutasi dalam pengertian modern. Serret menerbitkan sebuah pekerjaan penting membahas Galois 'kerja, masih tanpa melihat pentingnya konsep kelompok.

Jordan dalam makalah dari 1869 dan 1870 menunjukkan 1865 bahwa ia menyadari pentingnya kelompok permutasi. Ia mendefinisikan isomorfisma kelompok permutasi dan membuktikan Jordan - Pemegang teorema untuk kelompok permutasi. Holder adalah untuk membuktikan dalam konteks kelompok abstrak pada tahun 1889.

Klein mengusulkan Program Erlangen pada tahun 1872 yang merupakan teori klasifikasi kelompok geometri. Kelompok tentu menjadi tengah panggung dalam matematika.
Mungkin perkembangan yang paling luar biasa datang bahkan sebelum Betti. Hal ini disebabkan bahasa Inggris matematikawan Cayley . Pada awal 1849 Cayley menerbitkan kertas menghubungkan ide-idenya pada permutasi Cauchy. Pada tahun 1854 Cayley menulis dua makalah yang luar biasa untuk wawasan mereka memiliki kelompok abstrak. Pada waktu itu dikenal kelompok hanya itu kelompok permutasi dan bahkan ini adalah daerah baru secara radikal, namun Cayley mendefinisikan sebuah kelompok abstrak dan memberikan tabel untuk menampilkan perkalian kelompok. Dia memberikan Cayley tabel dari beberapa kelompok permutasi khusus tetapi, jauh lebih signifikan untuk pengenalan konsep grup abstrak, dia menyadari bahwa matriks dan quaternions adalah kelompok.

Cayley makalah tentang 1854 sangat jauh di depan waktu mereka bahwa mereka memiliki dampak yang kecil. Namun ketika Cayley kembali ke topik pada tahun 1878 dengan empat makalah tentang kelompok, salah satu dari mereka yang disebut Teori kelompok, waktu yang tepat untuk konsep abstrak kelompok bergerak menuju pusat penyelidikan matematika. Cayley terbukti, di antara hasil lainnya, bahwa himpunaniap kelompok hingga dapat direpresentasikan sebagai suatu grup permutasi. Cayley karya diminta Hölder, pada tahun 1893, untuk menyelidiki kelompok order p 3, pq 2, PQR dan p 4.
Frobenius dan Netto (mahasiswa Kronecker ) membawa teori kelompok maju. Sejauh konsep abstrak yang bersangkutan, penyumbang utama berikutnya adalah Von Dyck. Von Dyck , yang telah memperoleh gelar doktor di bawah Klein 'supervisi kemudian menjadi asisten Klein. Von Dyck , dengan kertas fundamental pada tahun 1882 dan 1883, dibangun gratis kelompok dan definisi kelompok abstrak dalam hal generator dan hubungan.

Teori grup benar-benar datang dari umur dengan buku oleh Burnside Teori kelompok order hingga diterbitkan pada tahun 1897. Kedua volume aljabar buku oleh Heinrich Weber (seorang mahasiswa Dedekind ) Lehrbuch der Aljabar diterbitkan pada tahun 1895 dan 1896 menjadi teks standar. Buku-buku ini mempengaruhi generasi berikutnya matematikawan membawa teori grup ke mungkin yang utama sebagian besar teori matematika abad ke 20.

Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html

 Teorema Pythagoras

“Teorema Pythagoras” dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teorema ini. Akan tetapi, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segitiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya. Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, dimana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Teorema ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides diantara tiga sisi dari segi tiga siku-siku. Hal ini menyatakan bahwa ‘jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusanya’.
Secara sistematis, teorema ini biasanya ditulis sebagai : a^2 + b^2 = c^2, dimana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusnya (sisi miring).

Sekitar 4000 tahun yang lalu, sebuah tablet tanah liat asal Babilonia ini ditemukan dengan tulisan berikut: “4 adalah panjang dan 5 diagonal. Selain itu, orang Cina juga tahu teorema ini. Hal ini disebabkan Tschou-Gun yang tinggal di 1100 SM. Dia mengetahui karakteristik dari sudut kanan. Teorema ini juga dikenal dengan Caldeans atau “Teorema Gougu’. Hal ini membuktikan bahwa telah jauh hari mereka menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang 3, 4,dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku.mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali kedalam 12 bagian yang sama,seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3,sisi kedua adalah 4,dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.

Selain itu, Orang Mesir tahu bahwa sebuah segitiga dengan sisi-sisi 3, 4, dan 5 membuat 90o sudut. Sebagai Sebenarnya, mereka mempunyai tali dengan 12 secara merata knot spasi seperti ini: Bahwa mereka digunakan untuk membangun sudut yang sempurna dalam bangunan dan piramida. Hal ini diyakini bahwa mereka hanya tahu tentang 3, 4, 5 segitiga dan bukan teorema umum yang berlaku untuk semua segitiga siku-siku. Walaupun teorema dikenal jauh di jaman prasejarah, namun Pythagoras lah yang membuatnya populer. Itulah sebabnya dikenal sebagai Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras dikaitkan dengan demonstrasi geometris pertama. Ada ratusan demonstrasi geometris murni serta terbatas dari bukti aljabar. Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema paling penting di seluruh dunia geometri.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden menghipotesiskan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790-1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Triple Pythagoras. Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Tomas L. Heath, tidak ada penelitian sebab dari teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teoroma ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencapai Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, eleman Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teoroma Pythagoras atau disebut dengan “Gougo Theorem” (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4,dan 5. Selama Dinasti han (202-220 SM), tripel Pythagoras muncul di sembilan bab pada seni matematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.

Sumber :
http://library-math.unm.ac.id/blog/?p=220